Wersja z 2014-01-13
Zajmiemy się teraz liczbami mieszanymi czyli ułamkami mieszanymi. Ułamek jest mieszany, jeśli składa się z części całkowitej i części ułamkowej (która powinna mieć postać ułamka właściwego). Przykładami liczb mieszanych są `2 1/2` czyli dwa i jedna druga, `7 2/5` czyli siedem i dwie piąte, `1 3/4` czyli jeden i trzy czwarte. Każdą liczbę mieszaną można zamienić na ułamek niewłaściwy. Ułamki niewłaściwe też często można zamienić na liczby mieszane. Wypadkami, gdy nie jest to możliwe, zajmiemy się w kolejnym rozdziale.
Liczbę mieszaną `1 1/2` (jeden i jedna druga) określamy słowem półtora lub półtorej. Pamiętajmy, że półtorej to forma używana tylko z rodzajem żeńskim (np. półtorej godziny, półtorej tablicy, półtorej szklanki, półtorej pizzy, półtorej bułki, półtorej dyni, półtorej kości). Z rzeczownikami rodzaju męskiego lub nijakiego używamy tylko postaci półtora (np. półtora metra, półtora kilograma, półtora dnia, półtora tortu, półtora bochenka, półtora pola, półtora jabłka, półtora jaja). Inne liczby mieszane nie mają specjalnych nazw we współczesnym języku polskim.
Zapis `7 2/5` można rozumieć tylko w jeden sposób: bierzemy siedem całości, które zostawiamy w spokoju, oraz dodatkowo jedną całość (zawsze), którą dzielimy na pięć części (mianownik). Następnie dwie z tych części (licznik) dołączamy do odłożonych już siedmiu całości.
Liczby mieszane są dość niefortunnym sposobem zapisu liczb. Jeśli w matematyce piszemy obok siebie dwa symbole, oznacza to zwykle ich mnożenie (np. `2 sqrt(2)` oznacza `2 * sqrt(2)`, podobnie `3x` oznacza `3 * x`). Tymczasem zapisanie liczby całkowitej, a bezpośrednio po niej ułamka, oznacza ich dodawanie. Symbolicznie nie możemy zapisać liczby mieszanej w postaci `a b/c`, gdyż taki zapis oznaczałby mnożenie. Zamiast tego zawsze pisać będziemy `a + b/c`.
Ponadto liczby mieszane nie są zbyt wygodne w obliczeniach, i często wygodnie jest zamienić je na ułamki niewłaściwe. Warto jednak przyjąć zasadę, że jeśli w danych zadania umieszczono liczby mieszane, to także w odpowiedzi używamy liczb mieszanych. Wynika ona z reguły ogólniejszej, mówiącej, że forma wyniku powinna w miarę możliwości przypominać formę danych (używając terminologii informatycznej można tę zasadę wyrazić krócej: co na wejściu, to na wyjściu). W praktyce więc często będziemy zamieniać liczby mieszane podane w danych na ułamki niewłaściwe, a po wykonaniu wszystkich działań wynik będziemy zamieniać z powrotem na liczbę mieszaną. Umiejętność przechodzenia z jednej postaci w drugą trzeba więc dobrze przećwiczyć, czym zajmiemy się w dwóch kolejnych rozdziałach.
Aby rozdzielić trzy drożdżówki między dwoje dzieci (zadanie z poprzedniego rozdziału), możemy postąpić następująco (i przy tym najbardziej racjonalnie):
Ostatecznie każde z dzieci otrzyma jedną całą drożdżówkę i jedną połówkę, czyli `1 1/2`. Rozwiązując to zadanie, faktycznie dokonaliśmy zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną: `3 : 2 = 3/2 = 1 1/2`. Wynik mówi nam, ile drożdżówek dostanie każde z dzieci.
3.1. Pani Kowalska ma troje dzieci. Przyniosła ze sklepu dziesięć tabliczek czekolady. Jak powinna rozdzielić je równo pomiędzy dzieci tak, by żadne nie czuło się pokrzywdzone, i by przy tym w miarę możliwości uniknąć łamania tabliczek na kawałki?
rozwiązanie
3.2. Jak rozdzielić po równo tysiąc jabłek pomiędzy trzech ludzi?
rozwiązanie