Wersja z 2014-12-11

Część poprzednia Spis treści Część następna

Grzegorz Jagodziński

10. Odejmowanie ułamków o jednakowym mianowniku

Pani Krupska podzieliła tort na 6 części i 5 z nich położyła na talerzu. Przyszły jej dzieci, i zjadły łącznie cztery kawałki. Jaka część tortu pozostała na talerzu?

Podobnie jak podobne zadanie omówione w poprzednim rozdziale, także i to jest banalne. Przecież jeśli pani Krupska podzieliła tort na 6 części, to każdy kawałek stanowił `1/6` tortu. Na początku na talerzu znalazło się 5 kawałków, czyli `5/6` tortu. Dzieci zjadły 4 z tych 5 kawałków, zatem pozostał 1 kawałek, czyli `1/6` tortu.

Analizowaną sytuację można przedstawić w postaci obliczenia: `5/6 - 4/6 = 1/6`.


Reguła odejmowania ułamków o tym samym mianowniku jest więc taka sama, jak reguła dodawania. Jeśli odejmowane ułamki mają taki sam mianownik, to odejmujemy tylko liczniki, a jednakowy mianownik pozostawiamy bez zmian. Zatem `4/5 - 1/5` to `3/5`.


Pan Rzecki pokroił tort na 6 równych kawałków i 5 z nich położył na talerzu. Przyszedł jego syn Michał i zjadł 2 kawałki. Jaka część tortu pozostała na talerzu?

Policzmy: `5/6 - 2/6 = 3/6`. Wynik ten można zapisać prościej, bo 3 pozostałe kawałki to połowa z ogólnej liczby sześciu kawałków. Powiemy więc raczej, że pozostało pół tortu, co zapiszemy: `5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2`. I dopiero teraz rozwiązanie uznamy za poprawne i pełne.


Podobnie jak przy dodawaniu, powinniśmy skrócić wynik, jeśli to tylko możliwe, chyba że w treści zadania wyraźnie zaznaczono, by tego nie robić.


Pani Żabińska kupiła dzieciom na kolację kilka pizz, podzieliła każdą z nich na cztery części, i wyłożyła na stół dwie całe pizze i trzy części z trzeciej pizzy. Przyszedł Staszek i zjadł całą pizzę i jeszcze jeden kawałek z drugiej. Ile pizzy pozostało na stole?

Skoro każda pizza rozkrojona została na 4 części, oznacza to, że każdy kawałek to `1/4` pizzy. Na początku na stole leżało `2 3/4` pizzy. Staszek zjadł łącznie `1 1/4` pizzy, co będziemy analizować kolejno. Gdy zjadł jedną całą pizzę, na stole pozostało `1 3/4` pizzy. Natomiast gdy zjadł jeszcze jeden kawałek, czyli `1/4` pizzy, pozostało już tylko `1 2/4` pizzy, czyli `1 1/2` pizzy.

Zapiszemy ostatecznie `2 3/4 - 1 1/4 = 1 2/4 = 1 1/2`. Pozostało `1 1/2` pizzy, co możemy (korzystając z dość niezwykłych właściwości języka polskiego) przeczytać (lub zapisać słowami): półtorej pizzy.


Jeśli to możliwe, przy odejmowaniu liczb mieszanych odejmujemy od siebie osobno całości, osobno części ułamkowe. Jednak nie każde zadanie na odejmowanie liczb mieszanych da się rozwiązać w tak prosty sposób. Jeżeli liczby mieszane stwarzają kłopoty, trzeba je zamienić na ułamki niewłaściwe albo pierwszą z liczb mieszanych rozbić na sumy całości i ułamków. Zamiana na ułamek niewłaściwy to dobry pomysł, gdy część całkowita liczby mieszanej jest niewielka (np. gdy jest równa 1), w przeciwnym wypadku warto spróbować innych metod. Zilustruje to kolejne zadanie, które rozwiążemy kilkoma sposobami.


Pani Malinowska kupiła dzieciom na kolację kilka pizz, podzieliła każdą z nich na cztery części, i wyłożyła na stół trzy całe pizze i jedną część z czwartej pizzy. Przyszedł Bogdan i zjadł jedną całą pizzę i jeszcze trzy kawałki z drugiej. Ile pizzy pozostało na stole?

Metoda 1

Skoro każda pizza rozkrojona została na 4 części, oznacza to, że każdy kawałek to `1/4` pizzy. Na początku na stole leżało `3 1/4` pizzy. Bogdan zjadł łącznie `1 3/4` pizzy, co będziemy analizować kolejno. Gdy zjadł jedną pizzę, na stole pozostało `2 1/4` pizzy. Potem zjadł jeszcze trzy kawałki, przy czym możemy założyć, że najpierw zjadł jeden kawałek leżący osobno, i wówczas na stole pozostały 2 pizze pokrojone na kawałki. Jednej z nich Bogdan w ogóle nie tknął, za to z drugiej pizzy zjadł 2 kawałki z ogólnej liczby 4. W sumie pozostała na stole jedna nienaruszona pizza oraz dwa kawałki z drugiej, czyli `1 2/4` pizzy. Podobnie jak poprzednio, zapiszemy to jako `1 1/2` i przeczytamy: półtorej pizzy.

A oto jak zapiszemy to rozwiązanie, używając symboli matematycznych: `3 1/4 - 1 3/4 = 2 1/4 - 3/4 = 2 - 2/4 = 1 + 4/4 - 2/4 = 1 + 2/4 = 1 2/4 = 1 1/2`.

Zauważmy przy okazji ciekawą właściwość odejmowania. Otóż jeśli od odjemnej (pierwszej liczby) i od odjemnika (drugiej liczby) odejmiemy tę samą liczbę, to wynik odejmowania się nie zmieni. Dlatego właśnie zamiast `2 1/4 - 3/4` możemy zapisać `2 - 2/4`. Oznacza to, że zamiast odjąć `3/4` odjęliśmy tylko `1/4`, czyli jeszcze `2/4` pozostało do odjęcia.

Skomplikowane? Popatrzmy na ten zapis jeszcze raz. Najpierw odejmujemy całości, pozostawiając ułamki nienaruszone. Następnie zamiast `3/4` odejmujemy `1/4`, bo tyle możemy odjąć bez problemów – wówczas do odjęcia pozostaje jeszcze `2/4`. Z dwóch całości rozmieniamy jedną na części, czyli zamiast 2 piszemy `1 + 4/4` (zapis `1 4/4` byłby bowiem dość niefortunny i mógłby zostać uznany za błędny). Od ułamka odejmujemy pozostałe `2/4`. Na końcu upraszczamy sumę `1 + 2/4`, zapisując ją z powrotem jako liczbę mieszaną `1 2/4`, i skracając część ułamkową przez 2.

Metoda 2

To samo zadanie możemy rozwiązać całkiem innym sposobem, mianowicie zamieniając na samym początku liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i wyciągając całości po wykonaniu obliczeń na tych ułamkach. Wówczas zapis obliczeń będzie wyglądać tak: `3 1/4 - 1 3/4 = 13/4 - 7/4 = 6/4 = 1 2/4 = 1 1/2`.

Metoda 3

Możemy także zacząć od odjęcia całości, a następnie zamienić jedyną pozostałą liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: `3 1/4 - 1 3/4 = 2 1/4 - 3/4 = 9/4 - 3/4 = 6/4 = 3/2 = 1 1/2`. Zauważmy, że wolno też najpierw skracać wynik, a dopiero potem wyłączać całości.

Metoda 4

Możemy wreszcie odjąć całości, a następnie rozmienić tylko jedną całość: `3 1/4 - 1 3/4 = 2 1/4 - 3/4 = 1 + 1 1/4 - 3/4 = 1 + 5/4 - 3/4 = 1 + 2/4 = 1 + 1/2 = 1 1/2`.

O piątej, nieco bardziej zaawansowanej metodzie powiemy za chwilę.


Przy odejmowaniu liczb mieszanych możemy zamieniać je na ułamki niewłaściwe, albo rozmieniać niektóre całości tak, by odejmowanie było wykonalne. Na razie przyjmiemy, żeby nie rozmieniać liczb mieszanych, przed którymi stoi znak minus. Po skończeniu obliczeń ułamki skracamy i wyciągamy całości, chyba że w treści zadania wyraźnie zaznaczono, by tego nie robić. Innymi słowy: wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnego ułamka właściwego lub liczby mieszanej z takim ułamkiem.


Z trzech zakupionych pizz dzieci zjadły pięć kawałków z jednej z nich, którą wcześniej pokroiły na sześć równych części. Ile pizzy pozostało?

Zadanie można zapisać matematycznie jako `3 - 5/6`. Podobnie jak poprzednio, możemy je rozwiązać na wiele sposobów. Jeśli założymy, że tylko jedna pizza została pokrojona, to oznaczało to wykonanie działania `3 = 2 + 6/6`. Wówczas rozwiązanie będzie następujące: `3 - 5/6 = 2 + 6/6 - 5/6 = 2 + 1/6 = 2 1/6`.

Możemy jednak także pokroić wszystkie trzy pizze, co oznacza zamianę `3 = 18/6`. Wówczas rozwiązanie będzie wyglądać tak: `3 - 5/6 = 18/6 - 5/6 = 13/6 = 2 1/6`.


Z pięciu zakupionych pizz dzieci zjadły dwie i jeszcze pięć kawałków z trzeciej, którą wcześniej pokroiły na sześć równych części. Ile pizzy pozostało?

Zadanie można zapisać matematycznie jako `5 - 2 5/6`. Jak zawsze w takich wypadkach, możliwych jest wiele dróg rozwiązania. Na przykład `5 - 2 5/6 = 3 - 5/6 = 2 + 6/6 - 5/6 = 2 1/6`.

Rozwiązanie z zamianą na ułamki niewłaściwe: `5 - 2 5/6 = 30/6 - 17/6 = 13/6 = 2 1/6`.


Jeśli w zadaniu jest kilka odejmowań lub dodawania i odejmowania, najlepiej wykonywać je kolejno od lewej strony.


Pani Wiśniewska kupiła 6 pizz, i każdą z nich podzieliła na 6 części. Zjadła półtorej pizzy (czyli jedną całą i trzy kawałki drugiej), jej córka Monika zjadła jedną pizzę i jeden kawałek drugiej, a jej druga córka Bogusia zjadła jedną pizzę i dwa kawałki drugiej. Ile pizzy pozostało dla syna Marka?

Zapiszmy działanie: `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6`. Najpierw odejmiemy całości: `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6 = 3 - 3/6 - 1/6 - 2/6`. Teraz wykonamy pierwsze odejmowanie, rozkładając jedną z całości: `3 - 3/6 - 1/6 - 2/6 = 2 + 6/6 - 3/6 - 1/6 - 2/6 = 2 + 3/6 - 1/6 - 2/6`. Teraz możemy bez problemu wykonać dwa kolejne odejmowania: `2 + 3/6 - 1/6 - 2/6 = 2 + 2/6 - 2/6 = 2`. Okazuje się więc, że pozostały 2 pizze.

To samo możemy obliczyć, zamieniając całości i liczbyi mieszane na ułamki niewłaściwe: `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6 = 36/6 - 9/6 - 7/6 - 8/6 = 27/6 - 7/6 - 8/6 = 20/6 - 8/6 = 12/6 = 2`.

Oczywiście każdy inny sposób obliczeń jest także dopuszczalny, byle tylko był poprawnie wykonany.


Całości i ułamki odejmujemy niezależnie od siebie, o ile to możliwe. W razie potrzeby rozmieniamy jedną z całości na ułamek. Możemy też zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, i wykonywać odejmowania w tej postaci. Na wszelki wypadek starajmy się w obliczeniach nie stosować zapisów typu „całość ułamek niewłaściwy”, bo są to zapisy nieformalne. W razie jakichkolwiek wątpliwości między całości a ułamek wstawiamy znak plus. Jednak wolno robić tak tylko wtedy, gdy przed liczbą mieszaną nie stoi znak minus. Znak ten opuszczamy najlepiej dopiero wówczas, gdy ułamek został już skrócony i jest na pewno właściwy (licznik jest mniejszy niż mianownik).


W działaniu odejmowania odjemną nazywamy liczbę, przed którą nie stoi żaden znak lub stoi znak plus, natomiast odjemnikiem nazywamy liczbę poprzedzoną znakiem minus. W przykładzie `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6` mamy jedną odjemną (jest nią liczba `6`) oraz trzy odjemniki (są to kolejno `1 3/6`, `1 1/6` i `1 2/6`). Z kolei w przykładzie `1 - 2/3 - 1/3` mamy jedną odjemną (`1`) i dwa odjemniki (`2/3` i `1/3`). Nigdy pod żadnym pozorem nie wolno odjemników odejmować od siebie! Nie możemy więc wykonać tu działania `2/3 - 1/3 = 1/3`.

Aby dwie liczby odjąć od siebie, jedna z nich musi być odjemną, a druga odjemnikiem. Odjemna nie może być poprzedzona znakiem minus! Właśnie dlatego najlepiej wykonywać działania po kolei, od lewej do prawej: `1 - 2/3 - 1/3 = 1/3 - 1/3 = 0`.


Przy odejmowaniu ułamków przydaje się pewna użyteczna zasada, wykorzystywana w nieco bardziej zaawansowanych technikach obliczeń. Otóż minus stojący przed liczbą jest do niej „przyklejony”. Oznacza to, że w łańcuchach, w których dodajemy i odejmujemy liczby, możemy je układać dogodnie do obliczeń, ale pod warunkiem, że liczbę przenosimy razem ze stojącym przed nią minusem. Odjemnik (poprzedzony minusem) nie może nigdy stać się odjemną (nie może tego minusa stracić).

Możemy zatem liczyć tak, zmieniając dla wygody kolejność obliczeń: `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6 = 6 - 1 3/6 - 1 2/6 - 1 1/6 = 3 - 3/6 - 2/6 - 1/6 = 2 + 6/6 - 3/6 - 2/6 - 1/6 = 2`.

Dzięki możliwości zmiany kolejności obliczeń możemy łatwo wykonywać nietypowe obliczenia, np. `1/3 - 2/3 + 4/3 = 1/3 + 4/3 - 2/3 = 5/3 - 2/3 = 3/3 = 1`. Bez możliwości zmiany kolejności operacji natrafilibyśmy tutaj zaraz na początku na „niemożliwe” odejmowanie `1/3 - 2/3` (działanie takie jest wykonalne, ale wymaga znajomości liczb ujemnych).

„Przyklejenie” minusa do odjemnika oznacza także, że wbrew temu, co mówiliśmy wcześniej, wolno nam rozbić liczbę mieszaną, przed którą stoi znak minus, ale wówczas między całości a ułamek wstawiamy znak minus, a nie plus, jak to dzieje się w innych wypadkach. Tak właśnie rozbijemy liczbę mieszaną będącą odjemnikiem w przykładzie `5 - 2 5/6 = 5 - 2 - 5/6 = 3 - 5/6 = 2 + 6/6 - 5/6 = 2 1/6`.

Pamiętajmy, że jeśli przed liczbą mieszaną nie ma minusa (czyli jeśli nie jest ona odjemnikiem), rozbijamy ją znakiem plus. Poprawne rozbijanie liczb mieszanych zilustrujemy, rozwiązując piątą metodą znany nam już przykład: `3 1/4 - 1 3/4 = 3 + 1/4 - 1 - 3/4`. Zmienimy teraz kolejność liczb, pamiętając o „przyklejonym” minusie: `3 + 1/4 - 1 - 3/4 = 3 - 1 - 3/4 + 1/4`. Wykonamy teraz pierwsze działanie od lewej: `3 - 1 - 3/4 + 1/4 = 2 - 3/4 + 1/4`. Bez problemu powinniśmy już teraz wykonać kolejne działanie: `2 - 3/4 + 1/4 = 1 1/4 + 1/4`. Na końcu wykonujemy dodawanie i skracamy otrzymany ułamek: `1 1/4 + 1/4 = 1 2/4 = 1 1/2`.


Pani Śliwińska kupiła 3 pizze i jedną z nich podzieliła na 3 części. Przyszła jej córka Marta i zjadła 1 kawałek, a potem przyszedł jej brat Tomek i zjadł dwa kawałki. Ile pizzy zostało?

Zadanie to możemy rozwiązać „klasycznie”, wykonując kolejne odejmowania: `3 - 1/3 - 2/3 = 2 + 3/3 - 1/3 - 2/3 = 2 + 2/3 - 2/3 = 2`. Zauważmy, że zastąpienie `3` sumą `2 + 3/3` odpowiada dokładnie rozkrojeniu jednej pizzy na trzy części.

Zadanie to można jednak rozwiązać prościej. Otóż pewną pochodną „przyklejenia” minusa do liczby jest też możliwość odjęcia sumy odjemników zamiast kolejnego odejmowania ich jedna po drugiej. Na przykład aby od `3` odjąć `1/3`, a potem jeszcze `2/3`, można przecież od razu odjąć `3/3`. Zapiszmy to: `3 - 1/3 - 2/3 = 3 - 3/3`. Ale przecież `3/3 = 1` (dzieci zjadły w sumie wszystkie trzy kawałki rozkrojonej pizzy), zatem nasze zadanie upraszcza się w następujący sposób: `3 - 3/3 = 3 - 1 = 2`. Prawda, że tak prościej liczyć, niż wykonywać kolejno odejmowanie dwóch ułamków?


Zasadę sumowania tego, co mamy odjąć, możemy wykorzystać także w znanym już przykładzie: `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6`. Rozłóżmy liczby mieszane na całości i ułamki zwykłe, pamiętając o znakach minus, które są jak zawsze „przyklejone”: `6 - 1 3/6 - 1 1/6 - 1 2/6 = 6 - 1 - 3/6 - 1 - 1/6 - 1 - 2/6`.

Przestawmy teraz kolejność liczb tak, by najpierw wykonać działania na całościach: `6 - 1 - 3/6 - 1 - 1/6 - 1 - 2/6 = 6 - 1 - 1 - 1 - 3/6 - 1/6 - 2/6`.

Zamiast odejmowania trzech liczb (trzech odjemników), policzmy najpierw ich sumę, by odjąć je na raz: `6 - 1 - 1 - 1 - 3/6 - 1/6 - 2/6 = 6 - 3 - 3/6 - 1/6 - 2/6`.

W identyczny sposób zsumujmy odjemniki ułamkowe: `6 - 3 - 3/6 - 1/6 - 2/6 = 6 - 3 - 6/6`.

Skróćmy jeszcze ułamek do całości: `6 - 3 - 6/6 = 6 - 3 - 1`.

Pozbyliśmy się ułamków, więc dalej obliczymy bardzo łatwo: `6 - 3 - 1 = 2`.


Przed wykonaniem łańcuchowego odejmowania można zsumować odjemniki (liczby poprzedzone znakiem minus), nie wolno natomiast odejmować odjemnika od innego odjemnika. Jeśli liczba mieszana jest odjemnikiem (poprzedza ją minus), rozbijamy ją na całości i ułamek właściwy znakiem minus. W każdym innym wypadku całości od ułamka właściwego oddzielamy znakiem plus.

Zadania

Jeśli to możliwe, w wynikach wszystkich zadań wyłącz całości i skróć ułamki. Inaczej mówiąc, wyniki przedstaw w postaci nieskracalnych ułamków właściwych lub liczb mieszanych z takimi ułamkami.

10.1. Oblicz:

`2/3 - 1/3`, `3/7 - 2/7`, `8/9 - 4/9`, `7/8 - 7/8`, `4/5 - 2/5`,
`1 3/4 - 3/4`, `2 3/5 - 1 2/5`, `2 2/3 - 2/3 - 1`, `1 6/7 - 2/7 - 3/7`, `3 4/5 + 2 2/5 - 1 3/5`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

10.2. Oblicz, nie zapominając o skróceniu ułamka stanowiącego wynik:

`3/4 - 1/4`, `5/6 - 2/6`, `4/9 - 1/9`, `5/4 - 1/4`, `7/8 - 3/8`,
`1 5/6 - 3/6`, `2 3/4 - 1 1/4`, `7/9 - 1/9 - 3/9`, `7/6 + 1/6 - 4/6`, `1 1/24 + 2 5/24 - 1 4/24`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

10.3. Oblicz:

`1 - 1/3`, `2 - 2/9`, `1 1/5 - 3/5`, `1 + 1 1/3 - 2/3`, `3 - 1 2/3 - 2/3`,
`5/3 - 1 1/3`, `2 1/7 - 3/7`, `2 2/3 - 2/3 - 1/3`, `8 - 4 2/3 - 1 1/3`, `5 1/7 - 1 6/7 - 2 3/7`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

10.4. Oblicz:

`1 1/4 - 3/4`, `2 1/6 - 5/6`, `10 3/8 - 8 5/8`, `5 - 2 5/6 - 1 5/6`, `12 - 10 3/4 - 1/4`,
`1 1/24 - 21/24`, `3 7/60 - 2 23/60`, `1 1/15 - 4/15`, `3 1/4 - 3 2/4 + 1 3/4`, `1 1/6 - 3 5/6 + 4`.

Pokaż Ukryj rozwiązanie

Część poprzednia Spis treści Część następna